Entre tores, sphères de toutes dimensions, bouteilles de Klein, ruban de Mobius et autres formes bizarres vous percevez peut-être ces objets comme inaccessibles et complexes à manipuler. Vous vous sentez bien plus à l'aise par exemple avec les nombres : les additionner, les soustraire, leur ajouter 0 ne pose aucun problème pour vous. La topologie algébrique a pour ambition de rendre le rapport aux formes géométriques aussi agréable que celui que vous avez aux nombres et autres structures algébriques avec des règles opératoires. On va construire et rencontrer un des premiers "invariant" algébrique découvert par le célèbre Henri Poincaré en 1895 : le groupe fondamental. Après avoir vu des exemples de groupes fondamentaux sur différentes formes (sphère, cercle, tore, etc) on va voir qu'il établit un véritable pont entre la topologie et l'algèbre en démontrant que toute application continue d'une boule dans une boule admet au moins un point fixe. C'est le célèbre théorème de Brouwer, plus connu sous l'énoncé suivant : "Quand on remue son café, ya toujours un point qui bouge ap".

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