Prenez une courbe algébrique réelle, à savoir un ensemble du plan de la forme $$\{(x,y)\in{\bf R}^2\mid A(x,y)=0\},$$ où \(A\) est un polynôme en deux variables sans points critiques. On observe alors une collection de courbes dans le plan, et on peut se poser la question de savoir ce que l'on peut obtenir Par exemple, en degré \(4\), on peut considérer deux cercles : $$A(x,y)=\Bigl[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-r_0^2\Bigr]\times\Bigl[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2-r_1^2\Bigr].$$
Selon le choix des centres \((x_i,y_i)\) et des rayons \(r_i\) de ces cercles, on peut soit observer des cercles emboîtés l'un dans l'autre, soit situés de manière séparée l'un de l'autre.
Nous verrons que le plan projectif réel est un cadre très naturel et beaucoup plus souple pour étudier cette question. Nous démontrerons le célèbre théorème de Harnack (1876), dont la preuve repose sur une application fine du théorème de Bézout (celui permettant de compter le nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques). Enfin, nous répondrons à la question posée par Hilbert dans le cas du degré inférieur à \(5\).

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